Q21 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Seja $ABC$ um triângulo equilátero com lado igual a $N\in \mathbb{N}.$ Considere o conjunto $S$ de todos os pontos $M$ dentro do triângulo $ABC$ satisfazendo $$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{N}\cdot \left(n\cdot \overrightarrow{AB}+m\cdot \overrightarrow{AC}\right)$$ com $m,n$ integers, $0\le nleqN,$ $0\le m\le N$ e $n+m\le N.$ Cada ponto de S é colorido em uma das três cores azul, branco, vermelho tal que (i) nenhum ponto de $S\cap [AB]$ está colorido de azul (ii) nenhum ponto de $S\cap [AC]$ está colorido de branco (iii) nenhum ponto de $S\cap [BC]$ está colorido de vermelho Prove que existe um triângulo equilátero as seguintes propriedades: (1) os três vértices do triângulo são pontos de $S$ e coloridos em azul, branco e vermelho, respectivamente. (2) o comprimento dos lados do triângulo é igual a 1. Variante: Mesmo problema, mas com um tetraedro regular e quatro cores diferentes usadas.