Q14 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Para um triângulo $ABC,$ seja $k$ sua circunferência de raio $r.$ As bissetrizes dos ângulos internos $A,B,$ e $C$ do triângulo cruzam respectivamente o círculo $k$ novamente nos pontos $A^{\prime },B^{\prime },$ e $C^{\prime }.$ Prove a desigualdade $$16Q^3\ge 27r^{4}P,$$ onde $Q$ e $P$ são as áreas dos triângulos $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ e $ABC$ respectivamente.