Q12 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Seja $P(x)$ um polinômio tal que as seguintes desigualdades sejam satisfeitas: $$P(0)>0;$$$$P(1)>P(0);$$$$P(2)>2P(1)-P(0);$$$$P(3)>3P(2)-3P(1)+P(0);$$ e também para todo número natural $n,$ $$P(n+4)>4P(n+3)-6P(n+2)+4P(n+1)-P(n).$$ Prove que para todo número natural positivo $n,$ $P(n)$ é positivo.