Q104 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Seja $n>1$ um inteiro fixo. Defina funções $f_0(x)=0,$ $f_1(x)=1-\cos (x),$ e para $k>0,$ $$f_{k+1}(x)=f_k(x)\cdot \cos (x)-f_{k-1}(x).$$ Se $F(x)={\sum }_{r=1}^n{f}_r(x),$ prova que (a) $0<F(x)<1$ para $0<x<\frac{\pi }{n+1},$ e (b) $F(x)>1$ para $\frac{\pi }{n+1}<x<\frac{\pi }{n}.$