Q6 Matemática (IMO Longlists 1989)

06 | IMO Longlists | 1989 | Matemática

Os círculos $c_{1}$ e $c_{2}$ são tangentes no ponto $A .$ Uma reta $l$ que passa por $A$ intercepta $c_{1}$ e $c_{2}$ nos pontos $C_{1}$ e $C_{2}$ , respectivamente. Um círculo $c,$ que contém $C_{1}$ e $C_{2},$ encontra $c_{1}$ e $c_{2}$ nos pontos $B_{1}$ e $B_{2}$ respectivamente. Seja $ω$ o círculo circunscrito ao triângulo $A B_{1} B_{2} .$ O círculo $k$ tangente a $ω$ no ponto $A$ encontra $c_{1}$ e $c_{2}$ nos pontos $D_{1}$ e $D_{2}$ respectivamente. Prove que (a) os pontos $C_{1}, C_{2}, D_{1}, D_{2}$ são concíclicos ou colineares, (b) os pontos $B_{1}, B_{2}, D_{1}, D_{2}$ são concíclicos se e somente se $A C_{1}$ e $A C_{2}$ são diâmetros de $c_{1}$ e $c_{2} .$