Q1 Matemática  (IMO Longlists 1989)

No conjunto $S_n=\{1,2,\dots ,n\}$ uma nova multiplicação $a\ast b$ é definida com as seguintes propriedades: (i) $c=a\ast b$ está em $S_n$ para qualquer $a\in S_n,b\in S_n.$ (ii) Se o produto ordinário $a\cdot b$ for menor ou igual a $n,$ então $a\ast b=a\cdot b.$ (iii ) As regras ordinárias de multiplicação valem para $\ast ,$ ie: (1) $a\ast b=b\ast a$ (comutatividade) (2) $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$ ( associatividade) (3) Se $a\ast b=a\ast c$ então $b=c$ (lei de cancelamento). Encontre uma tabuada de multiplicação adequada para o novo produto para $n=11$ e $n=12.$