Q70 Matemática  (IMO Longlists 1988)

$ABC$ é um triângulo, com raio interno $r$ e raio circunscrito $R.$ Mostre que: $$\mathrm{sen}\left(\frac{A}{2}\right)\cdot \mathrm{sen}\left(\frac{B}{2}\right)+\mathrm{sen}\left(\frac{B}{2}\right)\cdot \mathrm{sen}\left(\frac{C}{2}\right)+\mathrm{sen}\left(\frac{C}{2}\right)\cdot \mathrm{sen}\left(\frac{A}{2}\right)\le \frac{5}{8}+\frac{r}{4\cdot R}.$$