Q53 Matemática (IMO Longlists 1988)

53 | IMO Longlists | 1988 | Matemática

Dados $n$ pontos $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n},$ não três colineares, mostre que $n$ - gon $A_{1} A_{2} \dots A_{n},$ está inscrito em um círculo se e somente se $A_{1} A_{2} \cdot A_{3} A_{n} \cdot \dots \cdot A_{n - 1} A_{n} + A_{2} A_{3} \cdot A_{4} A_{n} \cdot \dots A_{n - 1} A_{n} \cdot A_{1} A_{n} + \dots$ $+ A_{n - 1} A_{n - 2} \cdot A_{1} A_{n} \cdot \dots \cdot A_{n - 3} A_{n}$ $= A_{1} A_{n - 1} \cdot A_{2} A_{n} \cdot \dots \cdot A_{n - 2} A_{n}$ , onde $X Y$ denota o comprimento do segmento $X Y .$