Q48 Matemática  (IMO Longlists 1988)

Considere 2 raios do círculo concêntrico $R$ e $r$ ($R>r$) com centro $O.$ Fixe $P$ no círculo menor e considere a corda variável $PA$ do círculo menor. Os pontos $B$ e $C$ ficam no círculo maior; $B,P,C$ são colineares e $BC$ é perpendicular a $AP.$ i.) Para quais valores de $\angle OPA$ é a soma $B{C}^2+C{A}^2+A{B}^2$ extremal? ii.) Quais são as posições possíveis dos pontos médios $U$ de $BA$ e $V$ de $AC$ conforme $\angle OPA$ varia?