Q39 Matemática  (IMO Longlists 1988)

i.) Seja $g(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1.$ Qual é o resto quando o polinômio $g(x^{12}$ é dividido por o polinômio $g(x)$? ii.) Se $k$ é um número positivo e $f$ é uma função tal que, para todo número positivo $x,f(x^2+1{)}^{\sqrt{x}}=k.$ Encontre o valor de $$f(\frac{9+y^2}{y^2}{)}^{\sqrt{\frac{12}{y}}}$$ para cada positivo número $y.$ iii.) A função $f$ satisfaz a equação funcional $f(x)+f(y)=f(x+y)-x\cdot y-1$ para cada par $x,y$ de números reais. Se $f(1)=1,$ então encontre os números de inteiros $n,$ para os quais $f(n)=n.$