Q38 Matemática  (IMO Longlists 1988)

i.) O polinômio $x^{2\cdot k}+1+(x+1{)}^{2\cdot k}$ não é divisível por $x^2+x+1.$ Encontre o valor de $k.$ ii.) Se $p,q$ e $r$ são raízes distintas de $x^3-x^2+x-2=0$, encontre o valor de $p^3+q^3+r^3.$ iii.) Se $r$ é o resto quando cada um dos números 1059, 1417 e 2312 é dividido por $d,$ onde $d$ é um inteiro maior que um, então encontre o valor de $dr.$ iv.) Qual é o menor inteiro ímpar positivo $n$ tal que o produto de $$2^{\frac{1}{7}},2^{\frac{3}{7}},\dots ,2^{\frac{2\cdot n+1}{7}}$$ é maior que 1000?