Q26 Matemática  (IMO Longlists 1988)

O círculo $x^2+y^2=r^2$ encontra o eixo de coordenadas em $A=(r,0),B=(-r,0),C=(0,r)$ e $D=(0,-r).$ Sejam $P=(u,v)$ e $Q=(-u,v)$ dois pontos na circunferência do círculo. Seja $N$ o ponto de intersecção de $PQ$ e o eixo $y$, e $M$ o pé da perpendicular traçada de $P$ ao eixo $x$. Se $r^2$ for ímpar, $u=p^m>q^n=v,$ onde $p$ e $q$ são números primos e $m$ e $n$ são números naturais, mostre que $$|AM|=1,|BM|=9,|DN|=8,|PQ|=8.$$