Q19 Matemática  (IMO Longlists 1988)

Seja $Z_{m,n}$ o conjunto de todos os pares ordenados $(i,j)$ com $i\in 1,\dots ,m$ e $j\in 1,\dots ,n.$ Seja também $a_{m,n}$ o número de todos os subconjuntos de $Z_{m,n}$ que não contêm 2 pares ordenados $(i_1,j_1)$ e $(i_2,j_2)$ com $|i_1-i_2|+|j_1-j_2|=1.$ Então mostre, para todos os inteiros positivos $m$ e $k,$ que $$a_{m,2\cdot k}^2\le a_{m,2\cdot k-1}\cdot a_{m,2\cdot k+1}.$$