Q2 Matemática  (IMO Longlists 1988)

Seja $\left[\sqrt{(n+1{)}^2+n^2}\right],n=1,2,\dots ,$ onde $[x]$ denota a parte inteira de $x.$ Prove que i.) existem infinitos inteiros positivos $m$ tais que $a_{m+1}-a_m>1;$ ii.) existem infinitos inteiros positivos $m$ tais que $a_{m+1}-a_m=1.$