Q78 Matemática  (IMO Longlists 1987)

Prove que para todo número natural $k$ ($k\ge 2$) existe um número irracional $r$ tal que para todo número natural $m$, $$[r^m]\equiv -1(\mathrm{mod}k).$$ Observação. Uma variante mais fácil: encontre $r$ como raiz de um polinômio de segundo grau com coeficientes inteiros. Proposta pela Iugoslávia.