Q64 Matemática (IMO Longlists 1987)

64 | IMO Longlists | 1987 | Matemática

Seja $r > 1$ um número real, e seja $n$ o maior inteiro menor que $r$ . Considere um número real arbitrário $x$ com $0 \leq x \leq \frac{n}{r - 1} .$ Por uma expansão de base- $r$ de $x$ queremos dizer uma representação de $x$ na forma $x = \frac{a _{1}}{r} + \frac{a _{2}}{r ^{2}} + \frac{a _{3}}{r ^{3}} + \dots$ onde $a_{i}$ são inteiros com $0 \leq a_{i} < r .$ Você pode assumir sem provas que todo número $x$ com $0 \leq x \leq \frac{n}{r - 1}$ tem pelo menos uma expansão de $r$ de base. Prove que se $r$ não é um número inteiro, então existe um número $p$ , $0 \leq p \leq \frac{n}{r - 1}$ , que tem infinitas expansões distintas de base $r$ .