Q39 Matemática (IMO Longlists 1987)

39 | IMO Longlists | 1987 | Matemática

Seja $A$ um conjunto de polinômios com coeficientes reais e que satisfaçam as seguintes condições: (i) se $f \in A$ e $de g (f) \leq 1$ , então $f (x) = x - 1$ ; (ii) se $f \in A$ e $de g (f) \geq 2$ , então existe $g \in A$ tal que $f (x) = x^{2 + d e g (g)} + xg (x) - 1$ ou existe $g, h \in A$ tal que $f (x) = x^{1 + d e g (g)} g (x) + h (x)$ ; (iii) para cada $g, h \in A$ , tanto $x^{2 + d e g (g)} + xg (x) - 1$ e $x^{1 + d e g (g)} g (x) + h (x)$ pertencem a $A .$ Seja $R_{n} (f)$ o resto da divisão euclidiana do polinômio $f (x)$ por $x^{n}$ . Prove que para todo $f \in A$ e para todos os números naturais $n \geq 1$ temos $R_{n} (f) (1) \leq 0$ , e que se $R_{n} (f) (1) = 0$ então $R_{n} (f) \in A$ .