Q23 Matemática  (IMO Longlists 1987)

Um abajur é parte da superfície de um cone circular reto cujo eixo é vertical. Suas bordas superior e inferior são dois círculos horizontais. Dois pontos são selecionados no círculo menor superior e quatro pontos no círculo maior inferior. Cada um desses seis pontos tem três dos outros que são seus vizinhos mais próximos a uma distância $d$ dele. Por distância entende-se a distância mais curta medida sobre a superfície curva do abajur. Prove que a área do abajur é $d^2(2\theta +\sqrt{3})$ onde $\mathrm{cotg}\frac{\theta }{2}=\frac{3}{\theta }.$