Q21 Matemática  (IMO Longlists 1987)

Seja $p_n(k)$ o número de permutações do conjunto $\{1,2,3,\dots ,n\}$ que possuem exatamente $k$ pontos fixos. Prove que ${\sum }_{k=0}^{n}k{p}_n(k)=n!$.(IMO Problema 1) Formulação original Seja $S$ um conjunto de $n$ elementos. Denotamos o número de todas as permutações de $S$ que têm exatamente $k$ pontos fixos por $p_n(k).$ Prove: (a) ${\sum }_{k=0}^{n}k{p}_n(k)=n!;$ (b) ${\sum }_{k=0}^n(k-1{)}^2{p}_n(k)=n!$ Proposta pela Alemanha, FR