Q7 Matemática  (IMO Longlists 1987)

Seja $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ uma função com a propriedade que $f(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)$ para todo $x>0.$ Prove que existe uma função $u:[1,+\infty )\to \mathbb{R}$ satisfazendo $u\left(\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\right)=f(x)$ para todos os $x>0,$