Q5 Matemática (IMO Longlists 1987)

05 | IMO Longlists | 1987 | Matemática

Sejam dados três círculos $K_{1}, K_{2}, K_{3}$ com centros $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ respectivamente, que se encontram em um ponto comum $P$ . Além disso, seja $K_{1} \cap K_{2} = {P, A}, K_{2} \cap K_{3} = {P, B}, K_{3} \cap K_{1} = {P, C}$ . Dado um ponto arbitrário $X$ em $K_{1}$ , junte $X$ a $A$ para encontrar $K_{2}$ novamente em $Y$ e junte $X$ a $C$ para encontrar $K_{3}$ novamente em $Z .$ (a) Mostre que os pontos $Z, B, Y$ são colineares. (b) Mostre que a área do triângulo $X Y Z$ é menor ou igual a $4$ vezes a área do triângulo $O_{1} O_{2} O_{3} .$