Q2 Matemática  (IMO Longlists 1987)

Suponha que temos um baralho de $2n$ cartões, na ordem $1,2,...,2n$. Um embaralhamento perfeito dessas cartas muda a ordem para $n+1,1,n+2,2,...,n-1,2n,n$ ; ou seja, as cartas originalmente nas primeiras posições $n$ foram movidas para as posições $2,4,...,2n$, enquanto as cartas restantes $n$, em sua ordem original, preenchem as posições ímpares $1,3,...,2n-1.$ Suponha que começamos com as cartas na ordem acima $1,2,...,2n$ e, em seguida, aplique embaralhamentos perfeitos sucessivamente. Que condições no número $n$ são necessárias para que os cartões eventualmente retornem ao seu pedido original? Justifique sua resposta. Observação Observação. Este problema é banal. Alternativamente, pode ser necessário encontrar o menor número de embaralhamentos após o qual as cartas retornarão à ordem original.