Q1 Matemática  (IMO Longlists 1987)

Sejam $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ $n$ inteiros. Seja $n=p+q$, onde $p$ e $q$ são inteiros positivos. Para $i=1,2,\cdots ,n$, coloque $$S_i=x_i+x_{i+1}+\cdots +x_{i+p-1}\text{ e }{T}_i=x_{i+p}+x_{i+p+1}+\cdots +x_{i+n-1}$$ (supõe-se que $x_{i+n}=x_i$ para todos os $i$). Em seguida, seja $m(a,b)$ o número de índices $i$ para os quais $S_i$ deixa o resto $a$ e $T_i$ deixa o resto $b$ na divisão por $3$, onde $a,b\in \{0,1,2\}$. Mostre que $m(1,2)$ e $m(2,1)$ deixam o mesmo resto quando divididos por $3.$