Q12 Matemática  (IMO Longlists 1986)

Seja $O$ um ponto interior de um tetraedro $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$. Sejam $S_1,S_2,S_3,S_4$ esferas com centros $A_1,A_2,A_3,A_4$, respectivamente, e sejam $U,V$ esferas com centros em $O$. Suponha que para $i,j=1,2,3,4,i\ne j$, as esferas $S_i$ e $S_j$ são tangentes entre si em um ponto $B_{ij}$ sobre $A_i{A}_j$ . Suponha também que $U$ é tangente a todas as arestas $A_i{A}_j$ e $V$ é tangente às esferas $S_1,S_2,S_3,S_4$. Prove que $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ é um tetraedro regular.