Q30 Matemática  (IMO Longlists 1985)

Uma grade retangular plana é dada e um “ponto racional” é definido como um ponto $(x,y)$ onde $x$ e $y$ são ambos números racionais. Sejam $A,B,A^{\prime },B^{\prime }$ quatro pontos racionais distintos. Seja $P$ um ponto tal que $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }P}{BP}=\frac{P{A}^{\prime }}{PA}.$ Em outras palavras, os triângulos $ABP,A^{\prime }{B}^{\prime }P$ são direta ou opostamente semelhantes. Prove que $P$ é em geral um ponto racional e encontre as posições excepcionais de $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$ em relação a $A$ e $B$ tais que existe um $P$ que não é um ponto racional.