Q27 Matemática  (IMO Longlists 1985)

Seja $O$ um ponto no plano euclidiano orientado e $(\mathbf{i},\mathbf{j})$ uma base ortonormal orientada diretamente. Seja $C$ o círculo de raio $1$, centrado em $O$. Para cada número real $t$ e inteiro não negativo$n$ seja $M_n$ o ponto em $C$ para o qual $⟨\mathbf{i},\overrightarrow{O{M}_n}⟩=\cos 2^{n}t.$ (ou $\overrightarrow{O{M}_n}=\cos 2^{n}t\mathbf{i}+\mathrm{sen}{2}^{n}t\mathbf{j}$). Seja $k\ge 2$ um inteiro. Encontre todos os números reais $t\in [0,2\pi )$ que satisfazem (i) $M_0=M_k$, e (ii) se um começa em $M0$ e percorre $C$ no sentido positivo, encontra-se sucessivamente os pontos $M_0,M_1,\dots ,M_{k-2},M_{k-1}$, nesta ordem.