Q23 Matemática  (IMO Longlists 1985)

Seja $\mathbb{N}=1,2,3,...$. Para $x,y$ reais, defina $S(x,y)=\{s|s=[nx+y],n\in \mathbb{N}\}$. Prove que se $r>1$ é um número racional, existem números reais $u$ e $v$ tais que $$S(r,0)\cap S(u,v)=\varnothing ,S(r,0)\cup S(u,v)=\mathbb{N}.$$