Q10 Matemática  (IMO Longlists 1985)

Sejam dadas $m$ caixas, com algumas bolas em cada caixa. Seja $n<m$ um dado inteiro. A seguinte operação é realizada: escolha $n$ das caixas e coloque $1$ bola em cada uma delas. Prove: (a) Se $m$ e $n$ são relativamente primos, então é possível, executando a operação um número finito de vezes, chegar à situação em que todas as caixas contêm um número igual de bolas. (b) Se $m$ e $n$ não são relativamente primos, existem distribuições iniciais de bolas nas caixas de tal forma que não é possível obter uma distribuição igual.