Q64 Matemática  (IMO Longlists 1984)

Para uma matriz $(p_{ij})$ do formato $m\times n$ com entradas reais, defina $$a_i=\sum _{j=1}^n{p}_{ij}\text{ para }i=1,\cdots ,m\text{ e }{b}_j=\sum _{i=1}^m{p}_{ij}\text{ para }j=1,...,n⟶(1)$$ Por inteiro um número real, queremos dizer substituir o número pelo inteiro mais próximo dele. Prove que a inteiração dos números $a_i,b_j,p_{ij}$ pode ser feita de tal forma que $(1)$ ainda vale.