Q37 Matemática  (IMO Longlists 1984)

$(MOR1)$ Denote por $[x]$ o maior inteiro não superior a $x$. Para todo real $k>1$, defina duas sequências: $$a_n(k)=[nk]\text{ e }{b}_n(k)=\left[\frac{nk}{k-1}\right]$$ Se $A(k)=\{a_n(k):n\in \mathbb{N}\}$ e $B(k)=\{b_n(k):n\in \mathbb{N}\}$, prove que $A(k)$ e $B(k)$ formam uma partição de $\mathbb{N}$ se e somente se $k$ é irracional.