Q31 Matemática  (IMO Longlists 1984)

Seja $f_1(x)=x^3+a_1{x}^2+b_{1}x+c_1=0$ uma equação com três raízes positivas $\alpha >\beta >\gamma >0$. Da equação $f_1(x)=0$, constrói-se a equação $f_2(x)=x^3+a_2{x}^2+b_{2}x+c_2=x(x+b_1{)}^2-(a_{1}x+c_1{)}^2=0$. Continuando este processo, obtemos as equações $f_3,\cdots ,f_n$. Prove que $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[2^{n-1}]{-a_n}=\alpha$$