Q21 Matemática  (IMO Longlists 1984)

$(1)$ Comece com $a$ bolas brancas e $b$ bolas pretas. $(2)$ Desenhe uma bola ao acaso. $(3)$ Se a bola for branca, então pare. Caso contrário, adicione duas bolas pretas e vá para o passo $2$. Seja $S$ o número de sorteios antes que o processo termine. Para os casos $a=b=1$ e $a=b=2$ apenas, encontre $a_n=P(S=n),b_n=P(S\le n),{\lim }_{n\to \infty }{b}_n$, e o valor esperado do número de bolas sorteadas: $E(S)=\sum _{n\ge 1}n{a}_n.$