Q18 Matemática  (IMO Longlists 1984)

Seja $c$ a circunferência inscrita no triângulo $ABC$, $d$ uma reta tangente a $c$ que não passa pelos vértices do triângulo $ABC$. Prove a existência dos pontos $A_1,B_1,C_1$, respectivamente, nas linhas $BC,CA,AB$ satisfazendo as duas propriedades a seguir: $(i)$ As linhas $A{A}_1,B{B}_1$ e $C{C}_1$ são paralelas. $(ii)$ As linhas $A{A}_1,B{B}_1$ e $C{C}_1$ encontram $d$ respectivamente nos pontos $A^{\prime },B^{\prime }$ e $C^{\prime }$ tal que $$\frac{A^{\prime }{A}_1}{A^{\prime }A}=\frac{B^{\prime }{B}_1}{B^{\prime }B}=\frac{C^{\prime }{C}_1}{C^{\prime }C}$$