Q34 Matemática  (IMO Longlists 1983)

Em um plano são dados n pontos $P_i(i=1,2,\dots ,n)$ e dois ângulos $\alpha$ e $\beta$. Sobre cada um dos segmentos $P_i{P}_{i+1}(P_{n+1}=P_1)$ um ponto $Q_i$ é construído tal que para todo $i$: (i) ao passar de $P_i$ para $P_{i+1},Q_i$ é visto no mesmo lado de $P_i{P}_{i+1}$, (ii) $\angle P_{i+1}{P}_i{Q}_i=\alpha ,$ (iii) $\angle P_i{P}_{i+1}{Q}_i=\beta .$ Além disso, seja $g$ uma reta no mesmo plano com a propriedade de que todos os pontos $P_i,Q_i$ estão do mesmo lado de $g$. Prove que $$\sum _{i=1}^{n}d(P_i,g)=\sum _{i=1}^{n}d(Q_i,g).$$ onde $d(M,g)$ denota a distância do ponto $M$ para a linha $g.$