Q32 Matemática  (IMO Longlists 1983)

Sejam $a,b,c$ números reais positivos e $[x]$ denotar o maior inteiro que não excede o número real $x$. Suponha que $f$ seja uma função definida no conjunto de inteiros não negativos $n$ e tomando valores reais tais que $f(0)=0$ e $$f(n)\le an+f([bn])+f([cn]),\text{ para todo }n\ge 1.$$ Prove que se $b+c<1$, existe um número real $k$ tal que $$f(n)\le kn\text{ for all }n(1)$$ enquanto se $b+c=1$, existe um número real $K$ tal que $f(n)\le Knlo{g}_{2}n$ para todo $n\ge 2$. Mostre que se $b+c=1$, pode não haver um número real $k$ que satisfaça $(1).$