Q18 Matemática  (IMO Longlists 1983)

Seja $b\ge 2$ um inteiro positivo. (a) Mostre que para um inteiro $N$, escrito na base $b$, ser igual à soma dos quadrados de seus algarismos, é necessário que $N=1$ ou que $N$ tenha apenas dois dígitos. (b) Dê uma lista completa de todos os inteiros não superiores a $50$ que, em relação a alguma base $b$, são iguais à soma dos quadrados de seus dígitos. (c) Mostre que para qualquer base b o número de inteiros de dois algarismos que são iguais à soma dos quadrados de seus algarismos é par. (d) Mostre que para qualquer base ímpar $b$ existe um inteiro diferente de $1$ que é igual à soma dos quadrados de seus dígitos.