Q16 Matemática  (IMO Longlists 1983)

Suponha que $x_1,x_2,\dots ,x_n$ sejam inteiros positivos para os quais $x_1+x_2+\cdots +x_n=2(n+1)$. Mostre que existe um inteiro $r$ com $0\le r\le n-1$ para o qual as seguintes desigualdades $n-1$ valem: $$x_{r+1}+\cdots +x_{r+i}\le 2i+1,\forall i,1\le i\le n-r;$$ $$x_{r+1}+\cdots +x_n+x_1+\cdots +x_i\le 2(n-r+i)+1,\forall i,1\le i\le r-1.$$ Prove que se todas as desigualdades são estritas, então $r$ é único e que, caso contrário, existem exatamente dois desses $r.$