Q13 Matemática  (IMO Longlists 1983)

Seja $p$ um número primo e $a_1,a_2,\dots ,a_{(p+1)/2}$ diferentes números naturais menores ou iguais a $p.$ Prove que para cada número natural $r$ menos que ou igual a $p$, existem dois números (talvez iguais) $a_i$ e $a_j$ tais que $$p\equiv a_i{a}_j(\mathrm{mod}r).$$