Q4 Matemática  (IMO Longlists 1983)

Seja $n$ um inteiro positivo. Seja $\sigma (n)$ a soma dos divisores naturais $d$ de $n$ (incluindo $1$ e $n$). Dizemos que um inteiro $m\ge 1$ é superabundante (P.Erdos, $1944$) se $\forall k\in \{1,2,\dots ,m-1\}$, $\frac{\sigma (m)}{m}>\frac{\sigma (k)}{k}.$ Prove que existe uma infinidade de números superabundantes.