Q36 Matemática  (IMO Longlists 1982)

Os números $u_{n,k}(1\le k\le n)$ são definidos da seguinte forma $$u_{1,1}=1,u_{n,k}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)-\sum _{d\mid n,d\mid k,d>1}{u}_{n/d,k/d}.$$ (a soma vazia é definida como igual a zero). Prove que $n\mid u_{n,k}$ para todo número natural $n$ e para todo $k(1\le k\le n).$