Q32 Matemática  (IMO Longlists 1982)

Seja $M$ o conjunto de todas as funções $f$ com as seguintes propriedades: (i) $f$ é definido para todos os números reais e aceita apenas valores reais. (ii) Para todo $x,y\in \mathbb{R}$ vale a seguinte igualdade: $f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y).$ (iii) $f(0)\ne 0.$ Determine todas as funções $f\in M$ tais que (a) $f(1)=\frac{5}{2}$, (b) $f(1)=\sqrt{3}$.