Q12 Matemática  (IMO Longlists 1982)

Uma pirâmide truncada $n$-gonal regular é circunscrita em torno de uma esfera. Denote as áreas da base e das superfícies laterais da pirâmide por $S_1,S_2$ e $S$, respectivamente. Seja $\sigma$ a área do polígono cujos vértices são os pontos tangenciais da esfera e as faces laterais da pirâmide. Prove que $$\sigma S=4S_1{S}_2{\cos }^2\frac{\pi }{n}.$$