Q62 Matemática  (IMO Longlists 1979)

$T$ é um determinado triângulo com vértices $P_1,P_2,P_3$. Considere uma subdivisão arbitrária de $T$ em um número finito de subtriângulos tal que nenhum vértice de um subtriângulo esteja estritamente entre dois vértices de outro subtriângulo. A cada vértice $V$ dos subtriângulos é atribuído um número $n(V)$ de acordo com as seguintes regras: $(\text{i})$ Se $V$ = $P_i$, então $n(V)=i$. $(\text{ii})$ Se $V$ estiver do lado $P_i{P}_j$ de $T$, então $n(V)=i$ ou $j$. $(\text{iii})$ Se $V$ estiver dentro do triângulo $T$, então $n(V)$ é qualquer um dos números $1,2,3$. Prove que existe pelo menos um subtriângulo cujos vértices são numerados $1,2,3$.