Q49 Matemática (IMO Longlists 1979)

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Sejam dadas duas sequências de inteiros $f_{i} (1), f_{i} (2), \dots (i = 1, 2)$ satisfazendo: $(i) f_{i} (nm) = f_{i} (n) f_{i} (m)$ se $g cd (n, m) = 1$ ; $(ii)$ para cada primo $P$ e todos os $k = 2, 3, 4, \dots$ , $f_{i} (P^{k}) = f_{i} (P) f_{i} (P^{k - 1}) - P^{2} f (P^{k - 2}) .$ Além disso, para todo primo $P$ : $(iii) f_{1} (P) = 2 P,$ $(i v) f_{2} (P) < 2 P .$ Prove que $∣ f_{2} (n) ∣ < f_{1} (n)$ para todos os $n$ .