Q22 Matemática  (IMO Longlists 1979)

Considere dois quadriláteros $ABCD$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ em um plano euclidiano afim tal que $AB=A^{\prime }{B}^{\prime },BC=B^{\prime }{C}^{\prime },CD=C^{\prime }{D}^{\prime }$ e $DA=D^{\prime }{A}^{\prime }$. Prove que as duas afirmações a seguir são verdadeiras: (a) Se as diagonais $BD$ e $AC$ são mutuamente perpendiculares, então as diagonais $B^{\prime }{D}^{\prime }$ e $A^{\prime }{C}^{\prime }$ também são mutuamente perpendiculares. (b) Se a mediatriz de $BD$ intercepta $AC$ em $M$, e a de $B^{\prime }{D}^{\prime }$ intercepta $A^{\prime }{C}^{\prime }$ em $M^{\prime }$, então $\frac{\overline{MA}}{\overline{MC}}=\frac{\overline{M^{\prime }{A}^{\prime }}}{\overline{M^{\prime }{C}^{\prime }}}$ (se $MC=0$ então $M^{\prime }{C}^{\prime }=0$ ).