Q9 Matemática  (IMO Longlists 1979)

Os números reais ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_n$ são positivos. Vamos denotar por $h=\frac{n}{1/{\alpha }_1+1/{\alpha }_2+\cdots +1/{\alpha }_n}$ a média harmônica, $g=\sqrt[n]{{\alpha }_1{\alpha }_{2}cdots{\alpha }_n}$ a média geométrica e $a=\frac{{\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n}{n}$ a média aritmética. Prove que $h\le g\le a$, e que cada uma das igualdades implica a outra.