Q35 Matemática  (IMO Longlists 1978)

Uma sequência $(a_n{)}_0^N$ de números reais é chamada côncava se $2a_n\ge a_{n-1}+a_{n+1}$ para todos os inteiros $n,1\le n\le N-1$. $(a)$ Prove que existe uma constante $C>0$ tal que $${\left(\sum _{n=0}^N{a}_n\right)}^2\ge C(N-1)\sum _{n=0}^N{a}_n^2(1)$$ para todas as sequências positivas côncavas $(a_n{)}_0^N$ $(b)$ Prove que $(1)$ vale com $C=\frac{3}{4}$ e que esta constante é a melhor possível.