Q28 Matemática  (IMO Longlists 1978)

Sejam $c,s$ funções reais definidas em $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ que não são constantes em qualquer intervalo e satisfazem $$c\left(\frac{x}{y}\right)=c(x)c(y)-s(x)s(y)\text{ para qualquer }x\ne 0,y\ne 0$$ Prove que: $(a)c\left(\frac{1}{x}\right)=c(x),s\left(\frac{1}{x}\right)=-s(x)$ para qualquer $x=0$, e também $c(1)=1,s(1)=s(-1)=0$; $(b)c$ e $s$ são ambas funções pares ou ímpares (uma função $f$ é par se $f(x)=f(-x)$ para todos os $x$, e ímpar se $f(x)=-f(-x)$ para todos os $x$). Encontre funções $c,s$ que também satisfaçam $c(x)+s(x)=x^n$ para todos os $x$, onde $n$ é um dado inteiro positivo.