Q20 Matemática  (IMO Longlists 1978)

Seja $O$ o centro de um círculo. Sejam $OU,OV$ os raios perpendiculares do círculo. O acorde $PQ$ passa pelo ponto médio $M$ de $UV$. Seja $W$ um ponto tal que $PM=PW$, onde $U,V,M,W$ são colineares. Seja $R$ um ponto tal que $PR=MQ$, onde $R$ está na linha $PW$. Prove que $MR=UV$. Versão alternativa: Um círculo $S$ é dado com centro $O$ e raio $r$. Seja $M$ um ponto cuja distância de $O$ é $\frac{r}{\sqrt{2}}$. Seja $PMQ$ um acorde de $S$. O ponto $N$ é definido por $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MQ}$. Seja $R$ o reflexo de $N$ pela linha que passa por $P$ que é paralela a $OM$. Prove que $MR=\sqrt{2}r$.