Q14 Matemática  (IMO Longlists 1978)

Sejam $p(x,y)$ e $q(x,y)$ polinômios em duas variáveis tais que para $x\ge 0,y\ge 0$ as seguintes condições são válidas: $(i)p(x,y)$ e $q(x,y)$ são funções crescentes de $x$ para cada $y$ fixo. $(ii)p(x,y)$ é uma função crescente e $q(x)$ é uma função decrescente de $y$ para cada $x$ fixo. $(iii)p(x,0)=q(x,0)$ para cada $x$ e $p(0,0)=0$. Mostre que as equações simultâneas $p(x,y)=a,q(x,y)=b$ têm uma única solução no conjunto $x\ge 0,y\ge 0$ para todo $a,b$ satisfazendo $0\le b\le a$ mas falta uma solução no mesmo conjunto se $a<b$.